Exercício nº 4
A figura que se segue, representa uma elipse gerada por um processo diferente daquele a que estás habituado. A construção é a seguinte:
  1. Começamos por definir duas circunferências com o mesmo centro, uma de raio a/2 e outra de raio b/2 sendo b < a. 
  2. Seguidamente, traçamos um segmento de recta unindo o centro das duas circunferências (que é a origem do referencial ) com um ponto A da circunferência maior. 
  3. Este segmento, intersecta a circunferência menor num ponto pelo qual traçamos uma paralela ao eixo Ox. 
  4. Seguidamente, traçamos por A  uma recta perpendicular à recta anterior. 
  5. O ponto de intersecção das duas rectas é o ponto P, cujo rasto é uma elipse se fizermos o ponto A tomar todas as posições possíveis. 
  6. Clicando em P e depois em  A podes animar a figura observando o ponto P a percorrer todos os pontos de uma elipse. 
Além disso, podes alterar  o tamanho das circunferências fazendo variar os valores de a e b.

Vamos agora mostrar que o conjunto de pontos percorrido por P é de facto uma elipse.

 Observa a figura, repara que está definido um ângulo d que o segmento CA faz com o semi-eixo positivo Ox. Podes definir as coordenadas do ponto  P à custa dos raios das duas circunferências.  Então P ( x , y ), é tal que:
 cos d = x/(a/2) e sen d = y/(b/2)

 Sabendo que sen2  d + cos2  d = 1 então temos:
 (x/(a/2))2  + (y/(b/2))2  = 1

 ou seja, o ponto P percorre uma elipse centrada na origem do referencial cujo eixo maior mede a e o eixo menor mede b.