Equações do segundo grau

Estás no 10º ano de escolaridade portanto, para ti resolver uma equação do 2º grau é algo simples. No 9º ano este assunto é bastante explorado devido à sua grande importância. Concerteza já utilizaste muitas vezes a fórmula resolvente assim como métodos alternativos no caso de a equação ser incompleta.

Mas, nem sempre foi assim. Antes de alguém ter descoberto a fórmula resolvente, muitos matemáticos dedicaram-se a este assunto. Nesta tarefa, vou explicar-te como um desses matemáticos, al-Khwarizmi procedeu para resolver equações deste tipo:

x² + 10x = 39

Esta equação traduz o seguinte problema:”Um tesouro e dez raízes da mesma quantidade perfazem trinta e nove dirhams, quer dizer, qual deve ser o tesouro que quando acrescentado de dez raízes perfaz trinta e nove?”

Nota: O termo dirham deriva de drachme, designação da unidade monetária grega.

O algoritmo apresentado por al-Khwarizmi é o seguinte:

1º Divide por dois o número de raízes, que dá 5;

2º Isto, multiplica por si próprio que dá 25;

3º Junta isto a 39; a soma é 64;

4º Agora toma a raiz que é 8 e subtrai dela metade do número de raízes que é 5;

5º O resto é 3

6º Esta é a raiz do quadrado que tu procuraste, o quadrado é 9.

Se pensarmos um pouco nestes seis passos e os seguirmos algebricamente, utilizando linguagem simbólica actual obtemos o seguinte:

x² + 10x= 39

<=>    x² + 4.(5/2)x + 4.(5/2)² = 39 + 4.(5/2)² <=>

 <=>    x² + 2.2.(5/2)x + (2.5/2)² = 39 + 4(5/2)² <=>

<=>    (x+ 2.(5/2))² = 64 <=>

<=>     x + 2.(5/2) = 8 <=>

 <=>   x = 3

Proponho-te agora que resolvas o seguinte problema:

“O dinheiro que tenho e doze raízes da mesma quantidade perfazem 13 dirhams, quer dizer, qual deve ser o tesouro que quando acrescentado de doze raízes perfaz treze?”

1.      Escreve uma equação que traduza este problema.

2.      Resolve a equação recorrendo à fórmula resolvente.

3.   Resolve a mesma equação recorrendo ao método de   al-Khwarizmi.

4.      Numa pequena composição compara os dois métodos de resolução referindo: qual o teu preferido, qual é o mais complicado, vantagens e desvantagens de existir a fórmula resolvente.

Seguidamente vou falar-te um pouco deste matemático que viveu entre 780 e 850. al-Khwarizmi deixou-nos obras em Aritmética, Álgebra, Astronomia, Geografia e sobre o Calendário. Trabalhou em Bagdad entre 813 e 833. al-Khwarizmi deve ser considerado o verdadeiro fundador da teoria das funções quadráticas (cujo estudo é feito com todo o pormenor neste ano de escolaridade), deixou escrito um tratado que foi a base de toda a álgebra islâmica e influenciou bastante toda a ciência ocidental durante a idade média devido ao facto de esse tratado  ter sido traduzido para latim. Este tratado, ensina métodos de resolução de equações do primeiro e segundo grau com coeficientes numéricos e demonstra a validade desses métodos.