Sólidos Platónicos Truncados

Durante as aulas do 10º ano de escolaridade, ouviste falar  nos sólidos platónicos. Estes sólidos, são estudados desde a Grécia Antiga na escola de Pitágoras, 600 anos AC, embora haja evidencia de que os povos Neolíticos tenham esculpido alguns destes sólidos 1000 anos antes. Alguns destes modelos encontram-se no museu Ashmolean no Reino Unido, a figura quue se segue representa esses modelos.

Com esta tarefa, pretende-se que aprofundes os teus conhecimentos relativamente a estes poliedros, à medida que procuras relações entre os seus elementos: vértices, arestas e faces (Geometria - Propostas de trabalho A.P.M.).

Vais precisar de uma planificação de cada um dos cinco sólidos platónicos, de preferência construídas em papel ou cartolina muito fina, visto que, estes sólidos vão ser truncados. Deves relacionar o número de arestas do sólido original, com o número de arestas do sólido truncado, com o número de lados do polígono originado pela secção e ainda com o número de vértices do sólido original ou do sólido truncado. Deves organizar os dados obtidos numa tabela.

Depois de construídos os cinco sólidos platónicos, ou a partir das suas planificações, vais truncá-los de acordo com as instruções do teu professor. Isto é relativamente simples, basta que, recorrendo a uma tesoura sejam cortadas tantas pirâmides quantos os seus vértices cortando em cada face do poliedro triângulos todos iguais, sendo um dos vértices desses triângulos um vértice do sólido. Para a maioria das pessoas é mais simples truncá-los quando ainda estão planificados.

A título de exemplo, está aqui uma figura que sugere um método simples de truncar um tetraedro. Pretende-se que faças algo de semelhante com os outros quatro sólidos platónicos. Na planificação que se segue, todos os triângulos brancos devem ser cortados. Isso corresponde a remover do sólido quatro pirâmides triangulares (os triângulos azuis não devem ser cortados visto que serão as novas faces do sólido que vai resultar desta operação). Assim, as originais quatro faces triangulares dão origem a quatro faces que são hexágonos regulares e quatro faces que são triângulos equiláteros.

Finalmente, temos a figura seguinte que mostra o aspecto que terá o tetraedro depois de truncado e montado.

Começa por considerar os símbolos seguintes:

At= nº de arestas do sólido truncado

Ao= nº de arestas do sólido original

Lp= nº de lados do polígono originado pela secção

Vo= nº de vértices do sólido original

Depois de algumas contas, poderás por exemplo chegar à conclusão de que:

At= Ao + Lp x Vo

Pretende-se que  não só chegues  ao maior número que conseguires de relações deste tipo, através de contagens, mas também as compreendas, isto é, percebas que tem que ser mesmo assim devido a maneira como os cortes foram feitos.