Números complexos |
||
| À medida que os alunos progridem ao longo da sua
escolaridade, vão conhecendo conjuntos de números cada vez maiores, mais ricos,
aos quais pertencem os números já seus conhecidos e números novos. No início do
primeiro ciclo, os nossos alunos trabalham apenas com os números naturais e com
o zero. Mais tarde, tomam conhecimento dos números fraccionários sendo-lhes
mostrado por que motivo estes números são necessários. Depois, já no 6º ano de
escolaridade, surge a necessidade de trabalhar com números negativos. Em geral
estes números são associados às temperaturas negativas, à altitude abaixo do
nível médio das águas do mar, ao número que é associado num elevador aos
andares que estão na cave, etc. Os alunos percebem bem, se recorrermos a
exemplos destes, da grande necessidade de trabalhar com números negativos. Por
outro lado, a existência deste tipo de números permite-lhes fazer algo até
agora impossível que é efectuar uma subtracção em que o aditivo é menor do que
o subtractivo. Seguidamente, no 9º ano, com a familiarização da resolução de
equações do 2º grau, torna-se óbvia a necessidade de lidar com números
irracionais. Mais tarde, os alunos tomam conhecimento do conjunto dos números
reais que, muitos pensam ser o maior conjunto com o qual os matemáticos lidam.
Apesar de neste conjunto algumas equações do 2º grau serem impossíveis, isso
não choca ninguém pois essas equações envolvem raízes quadradas de números
negativos que, não existem neste conjunto. Por este motivo, alguns alunos
estranham um pouco quando, chegando ao terceiro período do 12º ano de
escolaridade, tomam conhecimento da existência de “novos números”, do conjunto
dos números complexos. Eu apercebo-me de que, há muitos alunos a quem custa de
facto, aceitar a existência de raízes quadradas de números negativos. Basta
olhar para a cara de alguns alunos, quando estamos a iniciar o capítulo dos
números complexos, para percebermos isso. No entanto, esta surpresa inicial,
funciona muitas vezes como estímulo à aprendizagem. Os alunos vêem uma espécie
de “magia” na existência destes números. No programa elaborado pelo Ministério da Educação, é referida
a importância que tem neste capítulo o facto do professor explicar aos alunos
que estes números estão tão relacionados com a realidade do nosso mundo como
qualquer um dos outros que eles já conheciam. Nas minhas aulas, eu costumo dar
exemplos relacionados com a Física nomeadamente com o electromagnetismo. No
entanto penso que, também é importante relacionar a necessidade da existência
dos números complexos com a Matemática. Por este motivo, penso que, a
actividade que proponho a seguir é bastante importante para os alunos. Trata-se
de uma actividade em que se pretende mostrar aos alunos a necessidade da
existência dos números complexos na resolução de equações matemáticas do
terceiro grau e a par disso ensinar um pouco de História da Matemática.
Verifica-se que, nem todas as equações do 2º grau têm solução no conjunto dos
números reais, no entanto, essas equações impossíveis traduzem problemas que se
verifica empiricamente serem impossíveis também. Ora não é isto que se passa
com algumas equações do terceiro grau. Após ter sido resolvido o problema da resolução de equações
do 2º grau, passaram muitos séculos até que os matemáticos conseguissem
resolver equações do 3º grau. No princípio do século XVI, no Renascimento,
algebristas italianos obtiveram êxito na resolução deste tipo de equações. Foi Cardano, na sua obra “Ars Magna”(1545) quem primeiro expõe a
resolução das equações do 3º grau. Para as equações do tipo: x³+px²+q com p > 0 e q > 0, se  então o número real
é solução da equação. Em breve, surgiu um problema que mostrou que havia necessidade
de considerar um novo conjunto de números que resultaria da ampliação do
conjunto dos números reais, no qual fosse possível calcular raízes quadradas de
números negativos. Consideremos o seguinte problema: “Seja v o volume de um
cubo de aresta x e v’ o volume de um paralelepípedo rectângulo cuja área da
base é 3 e a altura é igual à aresta do cubo. Pretende determinar-se x de tal
modo que v = v’+ 1” Para resolver este problema, é necessário resolver a equação: x³ = 3x²+1. Utilizando a fórmula exposta por Cardano, chegamos à conclusão de que o número
é solução da equação. Aparece-nos nesta expressão a raiz quadrada de um número
negativo. Para quem ainda não tomou conhecimento da existência dos números
complexos, o raciocínio lógico é o seguinte: como não existem raízes quadradas
de números negativos, o problema não tem solução. O problema é que, isso não é
verdade! Se por exemplo supusermos que x = 1.5 obtemos que x³ = 3.375 e v'+1 =
3 x 1.5 + 1 = 5.5, neste caso v é inferior
a v' + 1. No entanto, se tomarmos x = 3 obtemos que x³ = 27 e v’+1 = 3 x 3 + 1 =
10, agora já temos v maior do que v’ +1. Então deverá existir algum número
real x que seja solução daquela
equação. Este facto levou vários matemáticos a pensarem que, apesar de as
raízes quadradas de números negativos não terem significado, permitem dar
seguimento a cálculos que nos conduzem a valores reais. Alguns matemáticos tais
como Cardano e Bombelli decidiram
trabalhar com este tipo de raízes tendo chegado a resultados correctos. Consideremos de seguida um exemplo bastante simples. Como é fácil verificar, o número 4 é solução da equação x³ = 15 x² + 4. Basta substituir a incógnita por 4 e fazer os cálculos. Utilizando a fórmula de Cardano, Bombelli começou por mostrar que:
Porque
Por outro lado
Utilizando depois a fórmula de Cardano conclui que
que, como já foi referido, é um número real e uma solução da
equação. Penso que este exemplo simples é o suficiente para convencer os
alunos do 12º ano de escolaridade da necessidade de alargar o conjunto dos
números reais a outro tipo de números que, como já vimos podem ser muito úteis
na resolução de um certo tipo de equações. No meu trabalho disponível na página
da minha escola, eu começo por expor o
que está aqui escrito e depois sugiro-lhes uma tarefa que consiste no seguinte: Considera o seguinte problema: “Seja v o volume de um
cubo de aresta x, e v' o volume do paralelepípedo rectângulo
cuja área da base é 15 e cuja altura é igual à aresta do cubo. Pretende
determinar-se x de tal modo que v = v' + 4.” 1- Determina
v e v’ para os valores de x iguais a 3.3 e 5.2, respectivamente 2- Escreve
os valores encontrados no ponto anterior. 3- Justifica que o problema tem que ter uma solução real. Podes considerar a função f(x) = x³ - 15 x - 4 e utilizando o Teorema de Bolzano justificar que tem pelo menos
um zero no intervalo ]3.3,5.2[ 4- Recorrendo
à tua calculadora gráfica, determina a solução real deste problema. Confirma-o
algebricamente. 5- Aplica
a fórmula de Cardano para resolver a
equação. Qual te parece ser a conclusão a tirar quanto à existência de soluções
reais para esta equação?
|
||
