Número de ouro

No 9º ano de escolaridade, tomaste conhecimento da existência dos números irracionais. Até este momento, só tinhas trabalhado com números racionais. Neste ano lectivo, descobriste que há números que não podem ser representados por dízimas finitas ou infinitas periódicas. Estes “novos” números, podem ser representados por dízimas infinitas não periódicas e, se os reunirmos com todos os números racionais, obtemos o conjunto dos números reais.

Vais agora ficar a conhecer um número irracional bastante famoso.. Este número já foi referido em alguns recentes best-sellers, é designado por “número de ouro” e vale:

Aparentemente, este número não tem nada de especial, a razão de ser tão famoso está relacionada com o facto de os artistas acharem que, qualquer rectângulo cuja razão entre o comprimento e a largura é igual, ou está muito próxima do número de ouro é mais apreciado esteticamente. Esta razão está presente em muitas obras de arte e arquitectura. Mesmo na natureza, esta razão aparece com alguma frequência.

Observou-se que este número está estreitamente relacionado com o equilíbrio do corpo humano. Na maioria dos seres humanos, o umbigo divide o corpo humano em duas partes cujo quociente é aproximadamente igual ao número de ouro, o mesmo se passa com o quociente entre a altura e a largura de uma cabeça humana.

A pirâmide de CHÉOPS (conhecida como a grande pirâmide) construída há 4700 anos, é também chamada de poliedro de ouro porque se descobriu que o quociente entre a altura de qualquer uma das suas faces triangulares e metade do comprimento da base de qualquer uma dessas faces é igual a Φ (o símbolo Φ utiliza-se muitas vezes para designar o número de ouro).

Na natureza são imensos os exemplos em que este número aparece, o mais simples talvez seja aquele que se verifica com a razão entre o comprimento e a largura de muitas folhas de algumas espécies de árvores que é bastante próxima de Φ.

Estes são apenas alguns exemplos das centenas que existem na natureza, na arte, no corpo humano, de situações em que este número que também é por vezes chamado de “Proporção Divina” aparece.

Um matemático que muito contribuiu para um melhor conhecimento deste número através da sua famosa sucessão foi Fibonacci.  Se realizares a tarefa que eu te proponho a seguir vais perceber o que é que eu quero dizer com isto. Outro personagem cuja contribuição não pode ser deixada de referir é a de Leonardo Da Vinci (1452-1519), um génio de pensamento original que usou os seus conhecimentos de matemática nomeadamente o número de ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo tradicional é o famoso homem de Vitruvio em cujo corpo se descobriram várias proporções correspondentes a Φ.

Antes de te propor a tarefa que se segue, sugiro que faças um pequeno trabalho de pesquisa na internet sobre este número. Verás que é fácil encontrar muitos exemplos interessantes diferentes daqueles que eu aqui referi.

A propósito deste famoso número irracional, proponho-te a seguinte tarefa:

1-      Recorrendo à tua calculadora ou ao programa Excel do teu computador, começa por obter 50 números da sucessão de Fibonacci. Os primeiros termos são os que se seguem e cada novo termo, obtém-se adicionando os dois anteriores:

1, 2, 3, 5, 8, 13,… (a partir daqui obtém tu os restantes).

2-      Seguidamente, com os números que obtiveste no ponto 1 obtém o quociente entre cada termo da sucessão e o anterior. Regista numa tabela os valores encontrados.

3-      Calcula com o maior número possível de casas decimais um valor aproximado do número de ouro:

4-      Compara com os valores que obtiveste no ponto 3.

5-      Elabora um pequeno relatório onde deves escrever as conclusões a que chegaste com esta tarefa.